ECDF 图

作者

[贡献] ZCode (GLM) — AI 生成，独立 AI 复核

修改于

2026-10-31

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经验累积分布函数（ECDF），\(F_n(x) = \frac{1}{n}\sum_i \mathbf{1}(x_i \le x)\)，把每个观测画成一段从 0 爬升到 1 的阶梯——一个完整、无假设的分布画像。与直方图相比，它不需要调分箱宽度、显示每个数据点的位置，且分位数可直接读图：组中位数就是曲线穿过 0.5 的位置 [1]。把两条 ECDF 画在同一坐标系里，也是两样本 Kolmogorov–Smirnov 检验的几何基础——两条曲线间的垂直间距就是 KS 统计量 [2]。

本教程涵盖四种工作流：

stat_ecdf() 的两组 ECDF；
多组 ECDF 与中位数标注；
两样本 ECDF差值图——KS 统计量的可视化；
p 值 ECDF——组学质控的标准视图。

Example

Setup

系统要求：跨平台（Linux/MacOS/Windows）
编程语言：R
依赖包：ggplot2；dplyr

# 加载包
library(ggplot2)
library(dplyr)

sessioninfo::session_info("attached")

─ Session info ───────────────────────────────────────────────────────────────
 setting  value
 version  R version 4.6.2 (2026-10-29)
 os       Ubuntu 24.04.5 LTS
 system   x86_64, linux-gnu
 ui       X11
 language (EN)
 collate  C.UTF-8
 ctype    C.UTF-8
 tz       UTC
 date     2026-10-31
 pandoc   3.1.3 @ /usr/bin/ (via rmarkdown)
 quarto   1.10.20 @ /usr/local/bin/quarto

─ Packages ───────────────────────────────────────────────────────────────────
 ! package * version    date (UTC) lib source
 P dplyr   * 1.2.1      2026-04-03 [?] RSPM
 P ggplot2 * 4.0.3.9000 2026-10-30 [?] Github (tidyverse/ggplot2@b638d65)

 [1] /home/runner/.cache/R/renv/library/Bizard-5140bdc6/linux-ubuntu-noble/R-4.6/x86_64-pc-linux-gnu
 [2] /home/runner/work/_temp/Library
 [3] /opt/R/4.6.2/lib/R/library

 * ── Packages attached to the search path.
 P ── Loaded and on-disk path mismatch.

──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

Data Preparation

两个固定种子的数据集：两手臂生物标志物研究（Placebo 与 Treatment 各 n = 300）与三基因表达比较；另有 2,000 个零假设下模拟的 p 值与混入真实信号的 p 值，用于质控视图。

set.seed(251)

resp <- data.frame(
  value = c(rnorm(300, 42, 9), rnorm(300, 49, 11)),
  group = rep(c("Placebo", "Treatment"), each = 300))

set.seed(42)
expr3 <- data.frame(
  expr = c(rnorm(200, 6, 1.4), rnorm(200, 5.4, 1.6), rnorm(200, 4.6, 1.2)),
  gene = rep(c("HER2", "EGFR", "KRAS"), each = 200))

pv_null <- runif(2000)
pv_mix  <- c(runif(1800), 10^(-rnorm(200, 2.4, 0.5)))
pvdf <- data.frame(p = c(pv_null, pv_mix),
                   what = rep(c("Null p-values", "With true signals"), each = 2000))

Visualization

1. 两组 ECDF

ggplot(resp, aes(value, colour = group)) +
  stat_ecdf(geom = "step", linewidth = 1) +
  scale_color_manual(values = c(Placebo = "#7570B3", Treatment = "#1B9E77"),
                     name = NULL) +
  labs(x = "Response biomarker", y = "ECDF F(x)",
       title = "Empirical cumulative distribution functions") +
  theme_bw(base_size = 11) +
  theme(legend.position = "top")

图 1: 两手臂的 ECDF：Treatment 曲线在所有分位数上都位于 Placebo 右侧——整个分布都更高，而不只是均值更高。

曲线整体左移意味着所有分位数都更小：整个分布发生移动——这是单纯的均数差无法证明的。

2. 多组 ECDF 与中位数

med <- expr3 |>
  group_by(gene) |>
  summarise(med = median(expr))

ggplot(expr3, aes(expr, colour = gene)) +
  stat_ecdf(geom = "step", linewidth = 0.9) +
  geom_point(data = med, aes(med, 0.5), shape = 8, size = 2.6,
             inherit.aes = FALSE, colour = "black") +
  scale_color_brewer(palette = "Dark2", name = NULL) +
  labs(x = "Expression (log2 TPM)", y = "ECDF",
       title = "Stars mark group medians (F(x) = 0.5)") +
  theme_bw(base_size = 11) +
  theme(legend.position = "top")

图 2: 三个基因表达的 ECDF；星号标记各组中位数（F(x) = 0.5 处）。

3. ECDF 差值图（KS 统计量）

ks <- ks.test(resp$value[resp$group == "Treatment"],
              resp$value[resp$group == "Placebo"])
e1 <- ecdf(resp$value[resp$group == "Treatment"])
e2 <- ecdf(resp$value[resp$group == "Placebo"])
grid <- seq(min(resp$value), max(resp$value), length.out = 600)
dd <- data.frame(x = grid, d = e1(grid) - e2(grid))
imax <- which.max(abs(dd$d))

ggplot(dd, aes(x, d)) +
  geom_line(color = "#1B7837", linewidth = 1) +
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed", color = "grey45") +
  geom_point(data = dd[imax, ], aes(x, d), color = "#B2182B", size = 2.6) +
  annotate("text", x = dd$x[imax], y = max(abs(dd$d)), vjust = -0.8,
           size = 3.4, color = "#B2182B",
           label = sprintf("D = %.2f, KS p = %.2g", max(abs(dd$d)), ks$p.value)) +
  labs(x = "Response biomarker", y = "ECDF(Treatment) - ECDF(Placebo)",
       title = "Two-sample ECDF difference (Kolmogorov-Smirnov)") +
  theme_bw(base_size = 11)

图 3: ECDF(Treatment) − ECDF(Placebo)：最大绝对垂直间距即 Kolmogorov-Smirnov 统计量（D = 0.31，p = 3.2e-13）。

这张图显示分布在哪里不同，而不只是是否不同——本例中间距在范围中部最大，在尾部收缩。

4. p 值 ECDF（组学质控视图）

零假设为真时 p 值服从 Uniform(0,1)，其 ECDF 贴合对角线。真实信号把小 p 值注入总体，使 ECDF 提前上升——这让它成为任何大规模检验流程的一眼式校准检查。

ggplot(pvdf, aes(p, colour = what)) +
  stat_ecdf(geom = "step", linewidth = 0.9) +
  geom_abline(intercept = 0, slope = 1, linetype = "dashed", color = "grey45") +
  scale_color_manual(values = c("Null p-values" = "grey55",
                                "With true signals" = "#B2182B"), name = NULL) +
  labs(x = "P-value", y = "ECDF",
       title = "P-value ECDF: flat = null, early rise = signal") +
  theme_bw(base_size = 11) +
  theme(legend.position = "top")

图 4: p 值的 ECDF：零假设 p 值贴合对角线，而混入真实信号的曲线提前上升（小 p 值富集）。

实践要点

ECDF 会暴露样本量：阶梯数就是 n——若不便公开 n 请勿发表。
从 y 轴读分位数：F(x) = 0.25 / 0.5 / 0.75 的交点即四分位数——面向临床读者时请标注。
右偏数据在对数 x 轴上画 ECDF（scale_x_log10()）——单调形状经变换保持，可读性不会。
“互补”视角：在对数 y 轴上画 1 − F(x) 以暴露上尾行为（生存曲线式）。

Application

ECDF 图适用于中位数与尾部比均数更重要的分布比较场景：药物反应筛选（每板 EC50 平移）、流式细胞标志物偏移、差异表达 p 值质控、卫生服务研究中的等待时间数据。下图模拟典型论文版式：(A) 带中位数的两组 ECDF 与 (B) KS 差值图。

Reference

[1] Chambers JM, Cleveland WS, Kleiner B, Tukey PA. Graphical Methods for Data Analysis. Belmont: Wadsworth; 1983.

[2] Hodges JL. The significance probability of the Smirnov two-sample test. Ark Mat. 1957;3(5):469-486. doi:10.1007/BF02589501